Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1 năm 2016-2017

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN 1

NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1(4 điểm):

$1)$ Lập công thức tính $a^5+b^5$ theo $S=a+b$ và $P=ab$

$2)$ Giải phương trình $(x^5+10x^3+22x-4)^3+3x^5+22x^3+64x=2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}+12$

Bài 2 (4 điểm):

$1)$ Cho ba số tự nhiền $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2=20c+2$.Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên chỉ toàn chữ số $1$ chia hết cho $ab$

$2)$ Cho dãy số $(u_n):\left\{\begin{matrix} u_1=10,u_2=19\\u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^2+u_n-1}{u_n} \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng $u_n$ luôn là số nguyên

Bài 3 (5 điểm):

Cho đường tròn $(O,R)$ và đường thẳng $d$ không cắt nhau.Hạ $OH$ vuông góc với $d$.Một đường tròn $(E)$ thay đổi đi qua $H$ và có tâm thuộc $d$ sao cho $(E)$ cắt $(O)$ tại hai điểm $A,B$

$1)$ Chứng minh rằng:đường thẳng $AB$ đi qua một điểm $I$ cố định

$2)$ từ $H$ kẻ hai tiếp tuyến $HC,HD$ với đường tròn $(O)$ với $C,D$ là các tiếp tuyến.Gọi $M$ là trung điểm $CD$.Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $HM$

Bài 4 (4 điểm):

$1)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ mà $abc=1$.Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\le 1$

$2)$ Tìm hàm $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $f(5x+y)=f(x)+f(2y)+4x-y\ \ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 5 (3 điểm):

Cho $100$ chiếc thẻ có màu đỏ được đánh số thứ tự từ $1$ đến $100$ và $100$ chiếc thẻ có màu xanh cũng được đánh số thứ tự từ $1$ đến $100$.Rút ra một số thẻ sao cho:

$\bullet$ Số thẻ được rút ra ít nhất là $1$

$\bullet$ Trong các thẻ được rút,không có hai thẻ nào cùng số

$\bullet$ Trong các thẻ được rút,nếu có hai thẻ nào nhận hai số tự nhiên liên tiếp thì chúng phải khác màu

Hỏi có bao nhiêu cách rút thẻ thỏa mãn đồng thời các điều trên?