Số học

Bài toán: Tìm tất cả những số m sao cho phương trình:

$x^{2}-2x[x]+x-m=0$ (1)

có hai nghiệm không âm (kí hiệu $[x]$ chỉ sô nguyên lớn nhất không vượt quá x)

Lời giải: 

Đặt $[x]=y, x-[x]=z$

Phương trình đã cho tương đương với $z^{2}+z-y^{2}+y-m=0$, trong đó y là số nguyên và $0\leq z<1$

Ta tìm z theo y được:

                    $z=\frac{-1\pm \sqrt{\Delta }}{2}$ với $\Delta =1+4(y^{2}-y+m)$

Kết hợp với điều kiện $z\geq 0$ ta có:

                    $z=\frac{\sqrt{\Delta }-1}{2}$ (2) với $0\leq \frac{\sqrt{\Delta }-1}{2}\leq 1$

Hay: $1\leq \Delta <y; 0\leq y^{2}-y+m<2$  (3)

Gọi $x_{1},x_{2}$ ($x_{1}>x_{2}$) là hai nghiệm không âm của (1) và 

$[x_{i}]=y_{i}\geq 0,x_{i}-[x_{i}]=z_{i}$ (i=1,2)

Đẳng thức $y_{1}=y_{2}$ không xảy ra được vì từ (2): $y_{1}=y_{2}$ thì $x_{1}=x_{2}$ trái với bài ra. Vậy $y_{1}>y_{2}$.

Nhưng từ (3): $0\leq y_{i}^{2}-y_{i}+m<2 (i=1,2)$ (4)

và $\left | y_{1}^{2}-y_{1}-y_{2}^{2}+y_{2} \right |<2, (y_{1}-y_{2})\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |<2$.

Do $y_{1}$ và $y_{2}$ nguyên và $y_{1}-y_{2}\geq 1$ nên hoặc là $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=1$ hoặc $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=0$

Trong trường hợp thứ nhất: $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=1$, ta có: $y_{1}+y_{2}=2$ và $y_{1}=2$ và $y_{1}=2,y_{2}=0$, như thế $(y_{1}-y_{2})\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=2$, mâu thuẫn!

Trong trường hợp hai: $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=0$, ta có: $y_{1}+y_{2}=1$ và từ $y_{1}>y_{2}\ geq0$ suy ra $y_{1}=1,y_{2}=0$

Từ đó: $x_{1,2}=\frac{\sqrt{1+4m}\pm 1}{2}$.

Rõ ràng phương trình đã cho không có trên 2 nghiệm không âm phân biệt. Vậy từ bất đẳng thức (4) tương đương với các điều kiện (3) ta có: $0\leq m<2$

Kết luận: Giá trị m cần tìm là $0\leq m<2$$\square $ 

Số học 5

Đề bài: Tìm $x,y,z$ nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn:

$2^{x}+2^{y}+2^{z}=2336$

Giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x<y<z$

Ta có: $2^{x}+2^{y}+2^{z}=2336\Leftrightarrow 2^{x}(1+2^{y-x}+2^{z-x})=2^{5}.73$

Vì $1+2^{y-x}+2^{z-x}$ là một số lẻ nên chỉ có thể: $2^{x}=2^{5}\Leftrightarrow x=5$

Lại có: $1+2^{y-x}+2^{z-x}=73\Leftrightarrow 2^{y-5}+2^{z-5}=72=2^{3}.9$

                                                        $ \Leftrightarrow 2^{y-5}(1+2^{z-y})=2^{3}.9$

Vì $1+2^{z-y}$ là một số lẻ $\Leftrightarrow 2^{y-5}=2^{3}$ và $1+2^{z-y}=9$

Vậy ba số cần tìm là $x=5, y=8,z=11$

Số học 4

Bài Toán:Chứng minh rằng luôn chọn được ba số nguyên dương $a,b,c$ sao cho nhiều nhất hai trong ba số $(3a)^2+3b+3c, (3b)^2+3c+3a, (3c)^2+3a+3b$ chính phương.

LỜI GIẢI

Giải như sau:
Ta suy như sau: Để tồn tại nhiều nhất 2 trong 3 số trên chính phương, ta sẽ tìm một bộ nghiệm $(a,b,c)$ thỏa đề bài dựa theo một form số-biến số (biến số: số thay đổi khi ta thay các giá trị).
Ta xét $(3a)^2+3b+3c=9a^2+3b+3c$ lại thấy hàng cao nhất của phương trình trên là $9a^2$ do vậy ta chọn $a=k,b=6k,c=3$ <*> (chú ý $k\geq 1$)
Khi đó $(3a)^2+3b+3c=9k^2+18k+9=(3k+3)^2$ là số chính phương <1>
Thay bộ nghiệm $<*>$ vào $(3b)^2+3c+3a=324k^2+3k+9$
Ta thấy $(18k)^2<324k^2+3k+9<(18k+1)^2$ do vậy $324k^2+3k+9$ không chính phương <2> (phương pháp kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp - đánh giá)
Thay bộ nghiệm $<*>$ vào $(3c)^2+3a+3b=21k+81$ <3>
Đến đây dù $k$ thế nào đi nữa thì <1> và <2> vẫn thỏa đề, vấn đề bây giờ ta chỉ cần tìm $k$ để <3> chính phương là xong.
Dễ thấy $(7q+9)^2=49q^2+126q+81=7(7q^2+18q)+81$ như vậy chọn $21k=7(7q^2+18q)$
Thấy $21k$ chia hết cho 3 suy ra $q$ chia hết cho 3 nên $q=3t$
Đến đây suy ra $k=21t^2+18t$
Vậy bộ 3 số $a,b,c$ là $\boxed{(a,b,c)=(k,6k,3)}$ Với $k=21t^2+18t$ thì thỏa đề 

Số học 3

Tìm số tự nhiên m,n sao cho $A= 3^{66m^{2}+9n^{3}-2008}+4$ là số nguyên tố

                                   Lời giải 

Dễ thấy $A=3^{3k+2}+4=9.27^k+4$ với $k=22m^2+3n^3-670$

* Nếu $k\ge1$ thì $A\equiv9+4\equiv0(\pmod{13})$ nên $A\ vdots\ 13$

* Nếu $k=0$ thì $A=13$ là SNT

Do đó $A$ là SNT $\Leftrightarrow 22m^2+3n^3-670=0$.

Giờ ta giải pt nghiệm nguyên dương : $22m^2+3n^3=670$ (1)

(1) $\Rightarrow n=2n_1$, thay vào (1) ta được : $11m^2+12n_1^3=335$ (2)

(2) $\Rightarrow m=2m_1+1$, thay vào (2) ta được : $11m_1(m_1+1)+3n_1^3=81$ (3)

(3) $\Rightarrow n_1=2n_2+1$, thay vào (3) ta được : $\frac{11m_1(m_1+1)}{2}+12n_2^3+18n_2^2+9n_2=39$ (4)

Với $n_2=0$ hoặc $n_2\ge2$ thì (4) VN nguyên dương.

Với $n_2=1$ thì (4) $\Rightarrow m_1=0$. Suy ra $n=6\ ;\ m=1$.

Thử lại thoả. Vậy $m=1,\ n=6$ thì $A$ là SNT.

Số học $2$

Bài Toán:Cho $p$ là 1 số nguyên tố lẻ, đặt $m=\frac{9^{p}-1}{8}$. Chứng minh rằng $m$ là 1 hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1\pmod{m}$

Lời giải:Ta thấy $m=\dfrac{9^p-1}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+...+9+1\equiv 1\;\pmod2$ nên $m$ lẻ.

Gỉa sử $q=\dfrac{9^p-1}{8}$ là một số nguyên tố.

Ta sử dụng kết quả :

Nếu mà $x,m$ nguyên dương và $p$ nguyên tố thỏa $m\mid \dfrac{x^p-1}{x-1}$ thì $m\equiv 0,1\;\pmod p$

Thì ta suy ra $q\equiv 0,1\;\pmod p$. Rõ ràng $q,p$ lẻ nên suy ra $p=q$. Suy ra $9^p=8p+1$. Nhưng 

theo BĐT Bernouli thì :

$$9^p=(8+1)^p\geq  8p+1$$

và dấu bằng không xảy ra. Ta gặp mâu thuẫn. Tức $m$ là hợp số lẻ. Ta có :

$$m-1=\dfrac{3^{2p}-9}{8}=\dfrac{9(3^{p-1}-1)(3^{p-1}+1)}{8}$$

Do $m$ lẻ nên $2\mid m-1$. Theo định lý Fermat nhỏ :

$$3^{p-1}\equiv 1\;\pmod p$$

Và do $\gcd(p,8)=1$ nên $p\mid \dfrac{3^{p-1}-1}{8}$. Suy ra $2p\mid m-1$. Dẫn đến :

$$8m=3^{2p-1}-1\mid 3^{m-1}-1\Rightarrow 3^{m-1}\equiv 1\;\pmod m$$

Điều phải chứng minh.

Số học $1$

Bài Toán:Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$

Lời giải:Bổ đề :

Với $m,x$ nguyên dương và $p$ nguyên tố thỏa $m\mid \dfrac{x^p-1}{x-1}$ thì ta luôn có $m\equiv 0,1\;\pmod p$.

Khi đó quay trở lại với bài toán, nhận thấy $(1,y)$ là nghiệm của phương trình, xét $x\neq 1$, ta viết phương trình đã cho thành :

$$\dfrac{x^{11}-1}{x-1}=y^5+y^2-2y=y(y-1)(y^2+y+2)$$

Theo bổ đề thì :

$$\left\{\begin{matrix} y\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;(1)\\ y-1\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;\;(2)\\ y^2+y+2\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;(3) \end{matrix}\right.$$

Từ $(1)(2)$ suy ra $y\equiv 1\;\pmod {11}$. Nhưng từ đó lại suy ra :

$$y^2+y+2\equiv 4\;\pmod {11}$$

Mâu thuẫn với $(3)$. 

Phương trình có nghiệm $(x,y)=(1,k)$.