Hình học 2

Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường cao AH, từ H hạ các đường vuông góc với AB, AC cắt AB, AC ở E, F. Tìm 2 điểm cố định mà đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC đi qua khi B, C thay đổi và A, H cố định.
Lời giải:

Hình học $1$

Bài toán:Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của OM,ED

Dễ thấy tứ giác MIFC nội tiếp $=>OF.OC=OI.OM=OD^{2}=R^{2}$

$=>OF=\frac{R^{2}}{OC}$ giá trị không đổi. Mà $O$ cố định nên  $F$ cố định 

Do $\angle IDO=\angle IDH\left ( =\angle IME \right )=>\Delta ODH$ cân vì DI vừa đường cao vừa phân giác 

$=>DO=DH$ hay DI là trung trực của OH $=>FH=FO=const$ 

Suy ra $H \in( F,\frac{R^{2}}{OC})$ cố định