Lời giải:Bổ đề :
Với $m,x$ nguyên dương và $p$ nguyên tố thỏa $m\mid \dfrac{x^p-1}{x-1}$ thì ta luôn có $m\equiv 0,1\;\pmod p$.
Khi đó quay trở lại với bài toán, nhận thấy $(1,y)$ là nghiệm của phương trình, xét $x\neq 1$, ta viết phương trình đã cho thành :
$$\dfrac{x^{11}-1}{x-1}=y^5+y^2-2y=y(y-1)(y^2+y+2)$$
Theo bổ đề thì :
$$\left\{\begin{matrix} y\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;(1)\\ y-1\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;\;(2)\\ y^2+y+2\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;(3) \end{matrix}\right.$$
Từ $(1)(2)$ suy ra $y\equiv 1\;\pmod {11}$. Nhưng từ đó lại suy ra :
$$y^2+y+2\equiv 4\;\pmod {11}$$
Mâu thuẫn với $(3)$.
Phương trình có nghiệm $(x,y)=(1,k)$.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét