Số học $2$

Bài Toán:Cho $p$ là 1 số nguyên tố lẻ, đặt $m=\frac{9^{p}-1}{8}$. Chứng minh rằng $m$ là 1 hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1\pmod{m}$

Lời giải:Ta thấy $m=\dfrac{9^p-1}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+...+9+1\equiv 1\;\pmod2$ nên $m$ lẻ.

Gỉa sử $q=\dfrac{9^p-1}{8}$ là một số nguyên tố.

Ta sử dụng kết quả :

Nếu mà $x,m$ nguyên dương và $p$ nguyên tố thỏa $m\mid \dfrac{x^p-1}{x-1}$ thì $m\equiv 0,1\;\pmod p$

Thì ta suy ra $q\equiv 0,1\;\pmod p$. Rõ ràng $q,p$ lẻ nên suy ra $p=q$. Suy ra $9^p=8p+1$. Nhưng 

theo BĐT Bernouli thì :

$$9^p=(8+1)^p\geq  8p+1$$

và dấu bằng không xảy ra. Ta gặp mâu thuẫn. Tức $m$ là hợp số lẻ. Ta có :

$$m-1=\dfrac{3^{2p}-9}{8}=\dfrac{9(3^{p-1}-1)(3^{p-1}+1)}{8}$$

Do $m$ lẻ nên $2\mid m-1$. Theo định lý Fermat nhỏ :

$$3^{p-1}\equiv 1\;\pmod p$$

Và do $\gcd(p,8)=1$ nên $p\mid \dfrac{3^{p-1}-1}{8}$. Suy ra $2p\mid m-1$. Dẫn đến :

$$8m=3^{2p-1}-1\mid 3^{m-1}-1\Rightarrow 3^{m-1}\equiv 1\;\pmod m$$

Điều phải chứng minh.