$$P=\frac{a+c+2}{a(b+c)+a+b+1}-\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b-c)}$$
Lời giải: Ta có:$ab+bc+ac+2=a^2+b^2+c^2\geq a^2+2bc$
$\Leftrightarrow ab+ac+2\geq a^2+bc$
$\Leftrightarrow 2(ab+ac)+2\geq (a+b)(a+c)$
$\Leftrightarrow a(b+c)+1\geq \frac{(a+b)(a+c)}{2}$
$\Leftrightarrow a(b+c)+a+b+1\geq \frac{(a+b)(a+c+2)}{2}$
$\Rightarrow \frac{a+c+2}{a(b+c)+a+b+1}\leq \frac{2}{a+b}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$(a+c)(a+2b-c)\leq \frac{(a+c+a+2b-c)^2}{4}=(a+b)^2\Rightarrow \frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b-c)}\geq \frac{a+b+1}{(a+b)^2}$
$\Rightarrow P\leq \frac{2}{a+b}-\frac{a+b+1}{(a+b)^2}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{(a+b)^2}=\frac{1}{4}-\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{2} \right )^2\leq \frac{1}{4}$
Vậy P max=$1/4$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét