Bất đẳng thức $18$

Bài Toán: $x,y,z$ là 3 số nguyên dương sao cho $x+y+z=1$ Tìm giá trị lớn nhất của $$P=\sqrt{\dfrac{x^2y}{4x+5y}}+\sqrt{\dfrac{y^2z}{4y+5z}}+\sqrt{\dfrac{z^2x}{4z+5x}}$$

Lời giải:Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta được:

$$\mathbb{VT}^2\leq \left ( \sum xy \right )\left ( \sum \dfrac{x}{4x+5y} \right )$$

Ta đưa bài toán về chứng minh:

$$\left ( \sum xy \right )\left ( \sum \dfrac{x}{4x+5y} \right )\leq \dfrac{1}{9}$$

hay $q\left ( \dfrac{x}{4x+5y}+\dfrac{y}{4y+5z}+\frac{z}{4z+5x} \right )\leq \dfrac{1}{9}$

Trong đó:$q=xy+yz+xz,0< q\leq \dfrac{1}{3}$.Mặt khác cũng theo BĐT $C-S$ ta có:

$4\sum \dfrac{x}{4x+5y}=3-5\sum \dfrac{y}{4x+5y}\leq 3-\dfrac{5(x+y+z)^2}{4(xy+yz+xz)+5(x^2+y^2+z^2)}=3-\dfrac{5}{5-6q}=\dfrac{10-18q}{5-6q}$

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:$\dfrac{q(5-9q)}{2(5-6q)}\leq \frac{1}{9}\Leftrightarrow (1-3q)(10-27q)\geq 0$ (Luôn đúng vì $q\leq \dfrac{1}{3}$)

BĐT được chứng minh $\blacksquare$