Bất đẳng thức $13$

Bài Toán:Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$$P = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + yz + x + 1}} + \frac{{y + z}}{{x + y + z + 1}} - \frac{{1 + yz}}{9}$$\

                                                                    Lời giải:

Ta có: $P=\dfrac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\dfrac{y+z}{x+y+z+1}-\dfrac{1+yz}{9}$ 

$=\dfrac{2x^2}{2x^2+2yz+2x+x^2+y^2+z^2}+\dfrac{y+z}{x+1+y+z}-\dfrac{x^2+y^2+z^2+2yz}{18}$

$=\dfrac{2x^2}{3x^2+(y+z)^2+2x}+\dfrac{y+z}{x+1+y+z}-\dfrac{x^2+(y+z)^2}{18}$ 

Đặt $a=x;b=y+z$,ta có: $a^2+b^2=x^2+(y+z)^2 \geq x^2+y^2+z^2=2$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có:

$a+b=x+y+z \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}=\sqrt{6}$

$a+b=x+y+z \geq \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 

Vậy $\sqrt{2}\leq a+b \leq \sqrt{6}$

Áp dụng BĐT $Cauchy$,ta có: $P=\dfrac{2a^2}{3a^2+b^2+2a}+\dfrac{b}{a+b+1}-\dfrac{a^2+b^2}{18}$ 

$=\dfrac{a}{a+(\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{a}{2})+a}+\dfrac{b}{a+b+1}-\dfrac{a^2+b^2}{18}$ 

$\leq \dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{a+b+1}-\dfrac{(a+b)^2}{36}$

$= \dfrac{a+b}{a+b+1}-\dfrac{(a+b)^2}{36}$

Đặt $t=a+b$. Xét $ f(t)=\dfrac{t}{t+1}-\dfrac{t^2}{36}$ trên [$\sqrt{2};\sqrt{6}$]

Ta có: $f'(t)=\dfrac{1}{(t+1)^2}-\dfrac{t}{18}$. 

 $f'(t)=0 \Leftrightarrow t=2$. Vậy từ đây ta có: $P\leq f(t) \leq f(2) =\dfrac{5}{9}$. 

Vậy $P_{max} =\dfrac{5}{9}$ khi và chỉ khi $(x+y+z)=(1;1;0);(1;0;1)$