Bất đẳng thức $17$

Bài Toán:Cho ba số thực a,b,c thỏa : $0<a\leq 2$ ; $0<b\leq 2$ ; $0<c\leq 2$.Chứng minh rằng: $4[(abc+1)(a+b+c) + 3(ab+bc+ca)] \geq 45abc$                      

Lời giải:BĐT cần chứng minh tương đương với:

$4\left ( 1+\dfrac{1}{abc} \right )(a+b+c)+12\left ( \dfrac{ab+bc+ac}{abc} \right )\geq 45$

$\Leftrightarrow 4(a+b+c)+4\left ( \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac} \right )+12\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )\geq 45$

Thật vậy:Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:$4(a+b+c)+4\left ( \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac} \right )+12\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )\geq 12\sqrt[3]{abc}+\dfrac{12}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\dfrac{36}{\sqrt[3]{abc}}$

Đặt  $t=\sqrt[3]{abc}$

Khi đó:$12\sqrt[3]{abc}+\dfrac{12}{\sqrt[3]{(abc)^2}}+\dfrac{36}{\sqrt[3]{abc}}=12t+\dfrac{12}{t^2}+\dfrac{36}{t}=\dfrac{12t^3+36t+12}{t^2}$

Xét hiệu:$\dfrac{12t^3+36t+12}{t^2}-45=\dfrac{12t^3-45t^2+36t+12}{t^2}=\dfrac{(t-2)^2(12t+3)}{t^2}\geq 0$

$\Rightarrow 4(a+b+c)+4\left ( \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac} \right )+12\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )\geq 45$

$\Rightarrow \mathbb{ĐPCM}$