Bất đẳng thức $15$

BÀI TOÁN:Cho $a+b+c=3$  Chứng minh rằng :$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq 4$

Lời giải:

Do $a+b+c=3$ nên ta sẽ chứng minh $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$

Không mất tính tổng quát của bài toán, ta có thể giả sử $a$ nằm giữa $b$ và $c$

              

 $\Rightarrow (a-b)(a-c)\leqslant 0$

               

$\Rightarrow a^2+bc \leqslant ab+ac$

               

$\Rightarrow ca^2+bc^2 \leqslant abc+ac^2$

               

$\Rightarrow ca^2+bc^2+ab^2+abc \leqslant abc+ac^2+ab^2+abc$

Từ đó ta chỉ cần chứng minh $abc+ac^2+ab^2+abc\leqslant \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$

                         

 $\Leftrightarrow a(b+c)^2\leqslant \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$

Áp dụng AM-GM ta có 

              

 $a(b+c)^2=\dfrac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)\leqslant \dfrac{1}{2}(\frac{2a+b+c+b+c}{3})^3=\frac{4(a+b+c)^3}{27}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$