Bài Toán:Cho 3 số x,y,z thực dương và thỏa mãn $xyz=8$,chứng minh rằng:$\dfrac{x^2}{\sqrt{(x^3+1)(y^3+1)}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{(y^3+1)(z^3+1)}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{(x^3+1)(z^3+1)}}\geq \dfrac{4}{3}$
LỜI GIẢI:Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\sqrt{(x^3+1)(y^3+1)}=\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)(y+1)(y^2-y+1)}\leq \dfrac{(x^2+2)(y^2+2)}{4}$
Từ đó suy ra
$\sum _{cyc}\dfrac{x^2}{\sqrt{(x^3+1)(y^3+1)}}\geq \sum _{cyc}\dfrac{4x^2}{(x^2+2)(y^2+2)}$
Ta C/m $\sum _{cyc}\dfrac{x^2}{(x^2+2)(y^2+2)}\geq \dfrac{1}{3}$ $(*)$ bằng biến đổi tương đương
$(*)\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 72$
BĐT này luôn đúng theo $AM-GM$ vì $2(x^2+y^2+z^2)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 6\sqrt[3]{x^2y^2z^2}+3\sqrt[3]{x^4y^4z^4}=72$
BĐT được C/m
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét