ĐỀ THI HSG TOÁN 10 LẦN 1 THPT CHUYÊN KHTN 2015-2016

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN     ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                      NĂM HỌC 2015-2016

                                                             Thời gian làm bài: 180 phút 

                                                                 (Lần 1, ngày 14/08/2015)

Câu I. 1/  Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:

$$x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$$

         2/ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: với $a$ là ước nguyên dương bất kì của $n$ thì $a+1$ là ước của $n+1$.

Câu II. 1/ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix}x(3y^2+1)=y^3+3y & & & \\ y(3z^2+1)=z^3+3z & & & \\ z(3x^2+1)=x^3+3x & & & \end{matrix}\right.$$

        2/ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$.Tìm GTNN của:    

$$P=\frac{a+1}{a^2+3a}+\frac{b+1}{b^2+3b}+\frac{c+1}{c^2+3c}$$

Câu III. Cho tứ giác $ABCD$ không là hình thang và nội tiếp trong đường tròn $(O$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $CD, BC,DA$. Gọi $(K)$ là đường tròn $(MNP)$. Gọi $L$ đối xứng với $O$ qua $K$.

     1/ Chứng minh $EL$ vuông góc $CD$

     2/ Gọi $I$ là tâm $(ECD)$. Giả sử $IK$ chia đôi $EL$. Chứng minh rằng khi đó $E$ nằm trên $(K)$

Câu IV. Hai bạn A,B chơi 1 trò chơi như sau. Bạn B chọn một số nguyên dương n tùy ý, bạn A chia 4030 số nguyên dương đầu tiên 1,2,3,..., 4030 thành 2015 cặp. Sau đó bạn B chọn trong mỗi cặp (mà A vừa chia) ra một số . Nếu tổng của các số được B chọn ra từ các cặp bằng n thì B thắng, trái lại thì A thắng. Chứng minh rằng với mỗi cách chọn số n của B thì A luôn có cách chia cặp để chắc chắn thắng.

Tham khảo lời giải một số câu tại ĐÂY