ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT KHTN 2015-2016 (VÒNG II)

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN                               TRƯỜNG THPT KHOA HỌC VÀ TỰ NHIÊN

                                                           

                                                              MÔN THI:TOÁN(VÒNG II)

                                   Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I.(3 điểm)

1)Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn:$(3a+3b+3c)^3=24+(3a+b-c)^3+(3b+c-a)^3+(3c+a-b)^3$.Chứng minh rằng:$(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1$

2)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5 & & \\ 27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x & & \end{matrix}\right.$

Câu II.(3 điểm)

1)Tìm số tự nhiên $n$ để $n+5$ và $n+30$ đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)

2)Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn đẳng thức:$1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

3)Giả sử $x,y,z$ là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{x}{\sqrt{y+z-4}}+\frac{y}{\sqrt{z+x-4}}+\frac{z}{\sqrt{x+y-4}}$

Câu III.(3 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân với $AB<AC$.Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đoạn $AM$.Trên tia đối của tia $AM$ lấy điểm $N$ sao cho $AN=2MH$

1)Chứng minh rằng $BN=AC$

2)Gọi $Q$ là điểm đối xứng với $A$ qua $N$.Đường thẳng $AC$ cắt $BQ$ tại $D$.Chứng minh rằng bốn điểm $B,D,N,C$ cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là $(O)$

3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AQD$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $D$.Chứng minh rằng $NG$ song song với $BC$

Câu IV.(1 điểm)

Ký hiệu $S$ là tập hợp gồm $2015$ điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của $S$ không cùng nằm trên một đường thẳng.Chứng minh rằng có ít nhất $2015$ đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của $S$

                                                                        

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm