BẤT ĐẲNG THỨC 2

Với các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+1=z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x^{3}}{x+yz}+\frac{y^{3}}{y+zx}+\frac{z^{3}}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$$

Lời giải:(VMF-Hoang Tung 126)

Theo Cauchy_Swatch ta có : $\dfrac{x^3}{x+yz}+\dfrac{y^3}{y+xz}\geq \dfrac{(x+y)^3}{2(x+y+yz+xz)}=\dfrac{(x+y)^3}{2(x+y)(1+z)}=\dfrac{(x+y)^2}{2(z+1)}=\dfrac{(z-1)^2}{2(z+1)}$  (Do $x+y=z-1$)

 Mà $\dfrac{z^3}{z+xy}=\dfrac{4z^3}{4z+4xy}\geq \dfrac{4z^3}{4z+(x+y)^2}=\dfrac{4z^3}{4z+(z-1)^2}=\dfrac{4z^3}{(z+1)^2}$

 $(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}\leq (z+1).\dfrac{x+y+2}{2}=\dfrac{(z+1)(z-1+2)}{2}=\dfrac{(z+1)^2}{2}$
$= > \dfrac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \dfrac{28}{(z+1)^2}$

Từ đó $= > P\geq \dfrac{(z-1)^2}{2(z+1)}+\dfrac{4z^3}{(z+1)^2}+\dfrac{28}{(z+1)^2}$

$=>2P\geq \dfrac{(z-1)^2}{z+1}+\dfrac{8z^3}{(z+1)^2}+\dfrac{56}{(z+1)^2}=\dfrac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}=f(z)$

  Ta chứng minh $f(z)\geq \dfrac{53}{4}< = > \dfrac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}\geq \dfrac{53}{4}$
$< = > \dfrac{9z^3-z^2-z+57}{z^2+2z+1}\geq \dfrac{53}{4}< = > 36z^3-4z^2-4z+228\geq 53z^2+106z+53$
$< = > 36z^3-57z^2-110z+175\geq 0< = > 12z^2(3z-5)+z(3z-5)-35(3z-5)\geq 0$
$< = > (3z-5)(12z^2+z-35)\geq 0< = > (3z-5)(4z(3z-5)+7(3z-5))\geq 0$
$< = > (3z-5)^2(4z+7)\geq 0$ (Luôn đúng)

 Do đó $2P\geq f(z)\geq \dfrac{53}{4}= > P\geq \dfrac{53}{8}= > P_{Min}=\dfrac{53}{8}< = > \left\{\begin{matrix} x=y & & \\ z=\dfrac{5}{3} & & \\ x+y+1=z & & \end{matrix}\right.< = > \left\{\begin{matrix} x=y=\dfrac{1}{3} & \\ z=\dfrac{5}{3} & \end{matrix}\right.$