BẤT ĐẲNG THỨC 6

Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\geq \frac{1}{n^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$.
Chứng minh

Giả sử:$\left | \dfrac{m}{n}-\sqrt{2} \right |< \dfrac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$

$\Leftrightarrow mn+\sqrt{2}n^2< 2\sqrt{2}n^2+\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow mn+\sqrt{2}n^2< n^2(\sqrt{2}+\sqrt{3})+(n^2-1)(\sqrt{2}-\sqrt{3})$

$\Rightarrow n(m+\sqrt{2}n)< n^2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{n(m+\sqrt{2}n)}> \dfrac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}(1)$

Vì $m,n\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow m\neq \sqrt{2}n\Rightarrow m^2\neq 2n^2\Rightarrow \left | m^2-2n^2 \right |\geq 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left | (m-\sqrt{2}n)(m+\sqrt{2}n) \right |}{n(m+\sqrt{2}n)}\geq \dfrac{1}{n(m+\sqrt{2}n)}$

$\Leftrightarrow \left | \dfrac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \dfrac{1}{n(m+\sqrt{2}n)}(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \left | \dfrac{m}{n}-\sqrt{2} \right |> \dfrac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ (mâu thuẫn với giả sử)

Vậy ta có điều phải chứng minh