BẤT ĐẲNG THỨC 3

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x,y,z\in(0;1)$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$.Chứng minh rằng:$\dfrac{x^2+y^4}{y}+\dfrac{y^2+z^4}{z}+\dfrac{z^2+x^4}{x}\geq \dfrac{15}{8}$
Lời giải:(VMF-Dinh Xuan Hung)

Từ giả thiết ta có:$\dfrac{1-x}{x}.\dfrac{1-y}{y}.\dfrac{1-z}{z}=1$

Đặt $(\dfrac{1-x}{x};\dfrac{1-y}{y};\dfrac{1-z}{z})\rightarrow (a;b;c)(a;b;c>0)$ và $abc=1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\dfrac{1}{1+a} & & & \\ y=\dfrac{1}{1+b} & & & \\ z=\dfrac{1}{1+c} & & & \end{matrix}\right.$

Ta có:$x^2+y^2+z^2=\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2}$

Trong 3 số $a,b,c$ có tích bằng $1$ luôn tồn tại $2$ số nằm cùng phía so với $1$.Giả sử hai số đó là $a$ và $b$

Khi đó:$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow ab+1\geq a+b$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:

$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}\geq \dfrac{1}{(1+ab)\left ( 1+\dfrac{a}{b} \right )}+\dfrac{1}{(1+ba)\left ( 1+\dfrac{b}{a} \right )}=\dfrac{a+b}{(a+b)(1+ab)}=\dfrac{1}{1+ab}=\dfrac{c}{c+1}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2}=\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{(1+c)^2}$

$=\dfrac{c^2+c+1}{(c+1)^2}=\dfrac{(c-1)^2}{4(c+1)^2}+\dfrac{3}{4}\geq \dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow 4(x^2+y^2+z^2)\geq 3$

Áp dụng BĐT $C-S$

$\sum \dfrac{x^2}{y}=\sum \dfrac{x^4}{x^2y}\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)}{x^2y+y^2z+z^2x}$

$x^2y+y^2z+z^2x\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+x^2z^2+z^2y^2)}$

$\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2).\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}}$

$\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2).\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4(x^2+y^2+z^2)}}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}$

$\Rightarrow \sum \dfrac{x^2}{y}\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}\geq \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2}=2(x^2+y^2+z^2)\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$(x^3+y^3+z^3)^2\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^4}{(x+y+z)^2}$

$\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^4}{3(x^2+y^2+z^2)}$

$=\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}\geq \dfrac{9}{64}$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq \dfrac{3}{8}$

$\Rightarrow \sum \dfrac{x^2+y^4}{y}=\sum \dfrac{x^2}{y}+\sum x^3\geq \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{15}{8}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$