$\boxed{TOPIC}$ Tổ hợp - Xác suất

Phần $1$:Các bài toán liên đến các nguyên lý đếm cơ bản

• Quy Tắc Cộng:

ĐỊnh Lý:Giả sử có $n_1$ cách thực hiện việc $E_1$, $n_2$ cách thực hiện việc $E_2$,…,$n_k$ cách thực hiện việc $E_k$. Nếu $k$ việc này không thể làm đồng thời thì sẽ có $n_1+n_2+...+n_k$ cách thực hiện một trong các việc $E_1;E_2;...;E_k$

Theo ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, nguyên lý này có thể phát biểu như sau: Nếu $A_1,A_2,...,A_k$ là các tập hữu hạn đôi một dời nhau thì $\left | \bigcup_{i=1}^{k}A_i \right |=\sum_{i=1}^{k}\left | A_i \right |$

Phương pháp:

Bước $1$:Phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để tiến hành thực $A$ ($A$ chỉ có thể được tiến hành theo một phương án $A_1,A_2,A_3,...,A_n$)

Bước $2$:Đếm số cách chọn $x_1;x_2;...;x_n$ trong các phương án $A_1;A_2;...;A_n$

Bước $3$ Dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện $A$ là:$x=x_1+x_2+...+x_n$ hay $x=\sum_{i=1}^{n}x_i$

Ví dụ 1:Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có $3$ đường bộ và $2$ đường thủy.Cần chọn một đường để đi từ $A$ đến $B$.Hỏi có mấy cách chọn?

Giải:

Phương án 1:Có 3 cách chọn một đường khi đi đường bộ

Phương án 2:Có 2 cách chọn một đường khi đi đường thủy

Do đó có tất cả:$3+2=5$ cách chọn một đường để đi từ $A$ đến $B$

Ví dụ 2:Một nhà hàng có 3 loại rượu,4 loại bia và 6 loại nước ngọt.Thực khách cần chọn đúng 1 loại đồ uống.Hỏi có mấy cách chọn?

Giải:

Phương án 1:Có 3 cách chọn rượu

Phương án 2:Có 4 cách chọn bia

Phương án 3:Có 6 cách chọn nước ngọt

Do đó có tất cả $3+4+6=13$ cách chọn đồ uống

• Quy Tắc Nhân

Định Lí:Gỉa sử công việc A được thực hiện bởi n công đoạn liên tiếp $A_1;A_2;...;A_n$.Giả sử mỗi công đoạn có số cách thực hiện theo thứ tự là $x_1;x_2;...;x_n$.Khi đó số cách thực hiện công việc $A$ là $x$ được cho bởi quy tắc nhân như sau:$x=x_1.x_2...x_n=\prod_{i=1}^{n}x_i$

Phương pháp:

Bước 1:Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực hiện $A$ ($A$ chỉ có thể được hoàn thành sau khi thực hiện toàn bộ các công đoạn $A_1;A_2;...;A_n$)

Bước 2:Đếm số cách chọn $x_1;x_2;....;x_n$ trong các các công đoạn $A_1;A_2;...;A_n$

Bước 3:Dùng quy tắc nhân ta tính được số các lựa chọn để thực hiện $A$ là:$x=x_1.x_2...x_n=\prod_{i=1}^{n}x_i$

Ví dụ 1:Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao thông:đường bộ,đường sắt và đường hàng không.Hỏi có mấy cách chọn phương tiện giao thông để di từ TP.Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay về?

Giải:

Đi từ TP.Hồ Chí Minh ra Hà Nội có 3 cách chọn

Đi từ Hà Nội về TP.Hồ Chí Minh có 3 cách chọn

Do đó có tất cả $3.3=9$ cách chọn thỏa mãn bài toán

Ví dụ 2:Một hội đồng nhân dân có $15$ người cần bầu ra một chủ tịch,1 phó chủ tịch,1 ủy ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải:

Có 15 cách để chọn ra 1 chủ tịch

Có 14 cách để chọn ra 1 phó chủ tịch

Có 13 cách để chọn ra 1 ủy ban thư ký

Do đó có tất cả:$15.14.13=2730$ cách chọn thỏa mãn bài toán

Sau đây sẽ là một số bài tập TỔNG HỢP:

$\boxed{1}$Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B.Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C.Hỏi:

a)Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C,qua B?

b)Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C qua B?

c)Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần?

$\boxed{2}$Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày.Có 4 loại nhật báo.Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc?

$\boxed{3}$Trong một tuần,Bảo định mỗi tối đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình.Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu:

a)Có thể thăm 1 bạn nhiều lần?

b)Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần?

$\boxed{4}$Một tuyến xe lửa có 10 ga.Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở 1 nhà ga và chấm dứt ở 1 nhà ga khác biết rằng từ nhà ga nào cũng có thể đi tới bất kỳ nhà ga khác?

$\boxed{5}$Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế.Hỏi có mấy cách xếp sao cho:

a)Nam,nữ ngồi xen kẽ

b)Nam,nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A,một người nữ B phải ngồi kề nhau?

c)Nam,nữ ngồi kề nhau và có một người nam C,một người nữ D không được ngồi kề nhau?

$\boxed{6}$Một bàn dài có 2 dãy ghế ngồi đối diện nhau,mỗi dãy ghế gồm 6 ghế.Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn trên.Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau:

a)Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường?

b)Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau?

$\boxed{7}$Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lấy từ $\left \{ 1;2;3;4;5;6 \right \}$ nếu:

a)Các chữ số không cần phải khác nhau?

b)Các chữ số khác nhau?

c)Các chữ số khác nhau và chứa chữ số 3?

d)Các chữ không cần phải khác nhau và chứa chữ số 3?

$\boxed{8}$Có bao nhiêu số tự nhiên có:

a)Cả 5 chữ số mà cả 5 chữ số đều chẵn?

b)5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau (Số có dạng $\overline{abcba}$)

$\boxed{9}$Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt,trong đó có chữ số 0 và chữ số 1

$\boxed{10}$Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt không bắt đầu bởi 123

Chi tiết hơn về TOPIC tại ĐÂY