ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
Môn:Toán (Vòng 1)
Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu I.(3 điểm)
1) Giả sử $a,b$ là hai số thực phân biệt thỏa mãn:$a^2+3a=b^2+3b=2$
a)Chứng minh rằng:$a+b=-3$
b)Chứng minh rằng:$a^3+b^3=-45$
2)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=5xy & & \\ 4x^2+y^2=5xy^2 & & \end{matrix}\right.$
Câu II.(3 điểm)
1)Tìm các số nguyên $x,y$ không nhỏ hơn 2 sao cho $xy-1\vdots (x-1)(y-1)$
2)Với $x,y$ là những số thực thỏa mãn đẳng thức:$x^2y^2+2y+1=0$,tìm giá trị lớn và nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{xy}{3y+1}$
Câu III.(3 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân có tâm đường tròn nội tiếp là $I$.Đường thẳng $AI$ cắt $BC$ tại $D$.Gọi $E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $D$ qua $IC$ và $IB$
a,Chứng minh rằng $EF$ song song với $BC$
b,Gọi $M,N,J$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $DE,DF,EF$.Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$ tại $P$ khác $A$.Chứng minh rằng bốn điểm $M,P,N,J$ cùng thuộc một đường tròn
c,Chứng minh rằng 3 điểm $A,J,P$ thẳng hàng
Câu IV.(1 điểm)
1)Cho bảng ô vuông $2015\times 2015$.Kí hiệu ô $(i,j)$ là ô ở hàng thứ $i$ cột $j$ .Ta viết các số nguyên dương từ $1$ đến $2015$ vào các ô của bảng theo quy tắc sau:
i)Số 1 được viết vào ô $(1;1)$
ii)Nếu $k$ được viết vào ô $(i,j)$ ,$(i>1)$.,thì số $k+1$ được viết vào ô $(i-1;j+1)$,
iii)Nếu số $k$ được viết vào ô $(1,j)$ thì số $k+1$ được viết vào ô $(j+1;1)$ (như hình vẽ)
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 3 & 6 & 10 & ... \\ \hline 2 & 5 & 9 & ...& \\ \hline 4 & 8 & ... & & & \\ \hline 7 & ... & & & & \\ \hline ...& & & & & \\ \hline \end{array}$
Khi đó số $2015$ được viết vào ô $(m;n)$.Hãy xác định $m$ và $n$
2)Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac+abc\leq 4$.Chứng minh rằng:$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)$
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét