Bất đẳng thức số 27

Bài Toán:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+2xy=3(x+y+z)$.
Tìm GTNN của biểu thức: $ P= x+y+z +\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}$

Lời giải

Từ (1) ta có:$(x+y)^2+z^2=3(x+y+z)$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$(x+y)^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{2}$

Do đó:$3(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)^2}{2}\Rightarrow x+y+z\leq 6$

Áp dụng BĐT $C-S$ dạng Engel:

$\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}\geq \frac{80}{\sqrt{x+z}+\sqrt{y+2}}\geq \frac{80}{\sqrt{2(x+y+z)+4}}$

Khi đó:$P\geq (x+y+z)+\frac{80}{\sqrt{2(x+y+z)+4}}$

Đặt $x+y+z=t\Rightarrow 0 \leq t \leq 6$

$\Rightarrow P\geq t+\frac{80}{\sqrt{2t+4}}(*)$

Đoạn (*) có nhiều cách làm nhưng mình sẽ hướng dẫn cách làm dùng toàn BĐT $AM-GM$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\sqrt{2t+4}\leq \frac{2t+4+16}{8}=\frac{t+10}{4}$

$\Rightarrow t+\frac{80}{\sqrt{2t+4}}\geq t+\frac{320}{t+10}=t+10+\frac{256}{t+10}+\frac{64}{t+10}-10\geq 32+4-10=26$

Do đó:$P_{min}=26$ khi $x=1;y=2;z=3$