Bài Toán:Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc $[0;1]$.Tìm giá trị lớn nhất của $A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Lời giải:
TH1:$1\geq a\geq b\geq c\geq 0\Rightarrow A\leq 0$
TH2:$1\geq a\geq c\geq b\geq 0$
$f(a,0,c)-f(a,b,c)=ac(a-c)(a+c)-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)=(a-c)b(a^{2}+c^{2}+ac-b^{2})\geq 0$
$\Rightarrow A\leq ac(a-c)(a+c)$
Xét $f(a)=ac(a^{2}-c^{2})=a^{3}c-ac^{3}$ với $1\geq a\geq c$
$f(a)'=3a^{2}c-c^{3}=c(3a^{2}-c^{2})\geq 0$$\Rightarrow f(a)$ đồng biến trên $\left [ 0;1 \right ]$
$\Rightarrow f(a)\leq f(1)=c-c^{3}$
Xét $f(c)=c-c^{3}$ với $1\geq c\geq 0$
$f(c)'=1-3c^{2}=0\Leftrightarrow c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow f(c)\leq f(\dfrac{1}{\sqrt{3}})=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
Dấu = xảy ra khi $a=1;b=0;c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét