Bài Toán:Cho các số thực $a, b, c$ thoả mãn $a \ge b \ge c$ và $a^2 + b^2 + c^2 = 5$ . Chứng minh rằng :$$(a - b)(b - c)(c - a)(ab + bc + ca) \ge -4$$
Lời giải:
Ta sử dụng 2 BĐT sau $xy \leq \left (\dfrac{x+y}{2}\right)^2$ và $xy\leq \dfrac{x^2+y^2}{2}$ với $x,y$ là các số thực
BĐT cần chứng minh tương đương với $(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca) \leq 4$
Ta có
$(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca)$
$= (b-c)(a^2-a(b+c)+bc)(ab+bc+ca)$
$\leq (b-c)\left(\dfrac{a^2-a(b+c)+bc+ab+bc+ca}{2}\right)^2$
$= (b-c)\left(\dfrac{a^2+2bc}{2}\right)^2 = 4(b-c)\left(\dfrac{a^2+2bc}{4}\right)^2$
$\leq 4\left(\dfrac{b-c+\dfrac{a^2+2bc}{4}+\dfrac{a^2+2bc}{4}}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{b-c+\dfrac{a^2}{2}+bc}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{b(1+c)-c+\dfrac{a^2}{2}}{3}\right)^3$
$\leq 4\left(\dfrac{\dfrac{b^2+(1+c)^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}-c}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}}{3}\right)^3=4$
Vậy BĐT đã được chứng minh.
BĐT cần chứng minh tương đương với $(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca) \leq 4$
Ta có
$(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca)$
$= (b-c)(a^2-a(b+c)+bc)(ab+bc+ca)$
$\leq (b-c)\left(\dfrac{a^2-a(b+c)+bc+ab+bc+ca}{2}\right)^2$
$= (b-c)\left(\dfrac{a^2+2bc}{2}\right)^2 = 4(b-c)\left(\dfrac{a^2+2bc}{4}\right)^2$
$\leq 4\left(\dfrac{b-c+\dfrac{a^2+2bc}{4}+\dfrac{a^2+2bc}{4}}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{b-c+\dfrac{a^2}{2}+bc}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{b(1+c)-c+\dfrac{a^2}{2}}{3}\right)^3$
$\leq 4\left(\dfrac{\dfrac{b^2+(1+c)^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}-c}{3}\right)^3=4\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}}{3}\right)^3=4$
Vậy BĐT đã được chứng minh.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét