Lời giải:Ta thấy $m=\dfrac{9^p-1}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+...+9+1\equiv 1\;\pmod2$ nên $m$ lẻ.
Gỉa sử $q=\dfrac{9^p-1}{8}$ là một số nguyên tố.
Ta sử dụng kết quả :
Nếu mà $x,m$ nguyên dương và $p$ nguyên tố thỏa $m\mid \dfrac{x^p-1}{x-1}$ thì $m\equiv 0,1\;\pmod p$
Thì ta suy ra $q\equiv 0,1\;\pmod p$. Rõ ràng $q,p$ lẻ nên suy ra $p=q$. Suy ra $9^p=8p+1$. Nhưng
theo BĐT Bernouli thì :
$$9^p=(8+1)^p\geq 8p+1$$
và dấu bằng không xảy ra. Ta gặp mâu thuẫn. Tức $m$ là hợp số lẻ. Ta có :
$$m-1=\dfrac{3^{2p}-9}{8}=\dfrac{9(3^{p-1}-1)(3^{p-1}+1)}{8}$$
Do $m$ lẻ nên $2\mid m-1$. Theo định lý Fermat nhỏ :
$$3^{p-1}\equiv 1\;\pmod p$$
Và do $\gcd(p,8)=1$ nên $p\mid \dfrac{3^{p-1}-1}{8}$. Suy ra $2p\mid m-1$. Dẫn đến :
$$8m=3^{2p-1}-1\mid 3^{m-1}-1\Rightarrow 3^{m-1}\equiv 1\;\pmod m$$
Điều phải chứng minh.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét