Lời giải:Ta sẽ xét bài toán tổng quát là IMO 1998 với $a$ thí sinh và $b$ giám khảo b lẻ $(b\geq 3)$
Ta cần cm :$\frac{k}{a}\geq \frac{b-1}{2b}$
Ý tưởng là đếm bằng 2 cách
Gọi N là số bộ 3 (giám khảo,giám khảo,học sinh) sao cho:
+,2 giám khảo đó là khác nhau
+,2 giám khảo đó cùng đánh giá đậu hoặc rớt cho thí sinh trong bộ 3
Có $d\frac{b(b-1)}{2}$ cách chọn bộ 2 giám khảo
Vì mỗi bộ giám khảo có kết luận giống nhau cho nhiều nhất là k thí sinh nên $N\leq \dfrac{kb(b-1)}{2}$(1)
Bây giờ ta xét cố định 1 thí sinh X và tính số cặp giám khảo cùng đánh giá cho X
Giả sử có x giám khảo kết luận đậu$\Rightarrow$ có $\dfrac{x(x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X đậu
Có b-x số giám khảo KL X rớt $\Rightarrow$ có $\dfrac{(b-x)(b-x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X rớt
Do đó có $\dfrac{x(x-1)}{2}+\dfrac{(b-x)(b-x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X
$\Rightarrow N=a\left [ \dfrac{x(x-1)}{2}+\dfrac{(x-b)(x-b+1)}{2} \right ](2)$
Từ (1) và (2) kết hợp với $\dfrac{x^{2}-x}{2}+\frac{b^{2}-2bx+x^{2}-b+x}{2}\geq \dfrac{2x^{2}-2bx+b^{2}-b}{2}$
$\geq \dfrac{2(x-\frac{b}{2})^{2}+\dfrac{b^{2}}{2}-b}{2}$
$\geq \dfrac{b^{2}}{4}-\dfrac{b}{2}$
$= \dfrac{(b-1)^{2}}{4}-\dfrac{1}{4}$ và do $b$ lẻ $\Rightarrow \dfrac{(b-1)^{2}}{4}$ nguyên
$\dfrac{k}{a}\geq \dfrac{b-1}{2b}$(đpcm)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét