$\boxed{TOPIC}$ Tổ hợp - Xác suất

Phần $1$:Các bài toán liên đến các nguyên lý đếm cơ bản

• Quy Tắc Cộng:

ĐỊnh Lý:Giả sử có $n_1$ cách thực hiện việc $E_1$, $n_2$ cách thực hiện việc $E_2$,…,$n_k$ cách thực hiện việc $E_k$. Nếu $k$ việc này không thể làm đồng thời thì sẽ có $n_1+n_2+...+n_k$ cách thực hiện một trong các việc $E_1;E_2;...;E_k$

Theo ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, nguyên lý này có thể phát biểu như sau: Nếu $A_1,A_2,...,A_k$ là các tập hữu hạn đôi một dời nhau thì $\left | \bigcup_{i=1}^{k}A_i \right |=\sum_{i=1}^{k}\left | A_i \right |$

Phương pháp:

Bước $1$:Phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để tiến hành thực $A$ ($A$ chỉ có thể được tiến hành theo một phương án $A_1,A_2,A_3,...,A_n$)

Bước $2$:Đếm số cách chọn $x_1;x_2;...;x_n$ trong các phương án $A_1;A_2;...;A_n$

Bước $3$ Dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện $A$ là:$x=x_1+x_2+...+x_n$ hay $x=\sum_{i=1}^{n}x_i$

Ví dụ 1:Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có $3$ đường bộ và $2$ đường thủy.Cần chọn một đường để đi từ $A$ đến $B$.Hỏi có mấy cách chọn?

Giải:

Phương án 1:Có 3 cách chọn một đường khi đi đường bộ

Phương án 2:Có 2 cách chọn một đường khi đi đường thủy

Do đó có tất cả:$3+2=5$ cách chọn một đường để đi từ $A$ đến $B$

Ví dụ 2:Một nhà hàng có 3 loại rượu,4 loại bia và 6 loại nước ngọt.Thực khách cần chọn đúng 1 loại đồ uống.Hỏi có mấy cách chọn?

Giải:

Phương án 1:Có 3 cách chọn rượu

Phương án 2:Có 4 cách chọn bia

Phương án 3:Có 6 cách chọn nước ngọt

Do đó có tất cả $3+4+6=13$ cách chọn đồ uống

• Quy Tắc Nhân

Định Lí:Gỉa sử công việc A được thực hiện bởi n công đoạn liên tiếp $A_1;A_2;...;A_n$.Giả sử mỗi công đoạn có số cách thực hiện theo thứ tự là $x_1;x_2;...;x_n$.Khi đó số cách thực hiện công việc $A$ là $x$ được cho bởi quy tắc nhân như sau:$x=x_1.x_2...x_n=\prod_{i=1}^{n}x_i$

Phương pháp:

Bước 1:Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực hiện $A$ ($A$ chỉ có thể được hoàn thành sau khi thực hiện toàn bộ các công đoạn $A_1;A_2;...;A_n$)

Bước 2:Đếm số cách chọn $x_1;x_2;....;x_n$ trong các các công đoạn $A_1;A_2;...;A_n$

Bước 3:Dùng quy tắc nhân ta tính được số các lựa chọn để thực hiện $A$ là:$x=x_1.x_2...x_n=\prod_{i=1}^{n}x_i$

Ví dụ 1:Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao thông:đường bộ,đường sắt và đường hàng không.Hỏi có mấy cách chọn phương tiện giao thông để di từ TP.Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay về?

Giải:

Đi từ TP.Hồ Chí Minh ra Hà Nội có 3 cách chọn

Đi từ Hà Nội về TP.Hồ Chí Minh có 3 cách chọn

Do đó có tất cả $3.3=9$ cách chọn thỏa mãn bài toán

Ví dụ 2:Một hội đồng nhân dân có $15$ người cần bầu ra một chủ tịch,1 phó chủ tịch,1 ủy ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải:

Có 15 cách để chọn ra 1 chủ tịch

Có 14 cách để chọn ra 1 phó chủ tịch

Có 13 cách để chọn ra 1 ủy ban thư ký

Do đó có tất cả:$15.14.13=2730$ cách chọn thỏa mãn bài toán

Sau đây sẽ là một số bài tập TỔNG HỢP:

$\boxed{1}$Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B.Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C.Hỏi:

a)Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C,qua B?

b)Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C qua B?

c)Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần?

$\boxed{2}$Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày.Có 4 loại nhật báo.Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc?

$\boxed{3}$Trong một tuần,Bảo định mỗi tối đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình.Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu:

a)Có thể thăm 1 bạn nhiều lần?

b)Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần?

$\boxed{4}$Một tuyến xe lửa có 10 ga.Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở 1 nhà ga và chấm dứt ở 1 nhà ga khác biết rằng từ nhà ga nào cũng có thể đi tới bất kỳ nhà ga khác?

$\boxed{5}$Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế.Hỏi có mấy cách xếp sao cho:

a)Nam,nữ ngồi xen kẽ

b)Nam,nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A,một người nữ B phải ngồi kề nhau?

c)Nam,nữ ngồi kề nhau và có một người nam C,một người nữ D không được ngồi kề nhau?

$\boxed{6}$Một bàn dài có 2 dãy ghế ngồi đối diện nhau,mỗi dãy ghế gồm 6 ghế.Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn trên.Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau:

a)Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường?

b)Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau?

$\boxed{7}$Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lấy từ $\left \{ 1;2;3;4;5;6 \right \}$ nếu:

a)Các chữ số không cần phải khác nhau?

b)Các chữ số khác nhau?

c)Các chữ số khác nhau và chứa chữ số 3?

d)Các chữ không cần phải khác nhau và chứa chữ số 3?

$\boxed{8}$Có bao nhiêu số tự nhiên có:

a)Cả 5 chữ số mà cả 5 chữ số đều chẵn?

b)5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau (Số có dạng $\overline{abcba}$)

$\boxed{9}$Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt,trong đó có chữ số 0 và chữ số 1

$\boxed{10}$Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt không bắt đầu bởi 123

Chi tiết hơn về TOPIC tại ĐÂY

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                               KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015                                  

   ------------------------------                                                          MÔN THI: TOÁN HỌC                                                 

          

                                                                         (Thời gian làm bài: 180 phút)

                                                                       ----------------------------------

Câu 1: (1 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3-3x$.

Câu 2: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\frac{4}{x}$ trên $[1;3]$.

Câu 3: (1 điểm)

a) Cho số phức $z$ thoả mãn $(1-i)z-1+5i=0$. Tìm phần thực và phần ảo của $z$.

b) Giải phương trình $\log_2{(x^2+x+2)}=3$.

Câu 4: (1 điểm) Tính tích phân $I=\int_{0}^{1}(x-3)e^xdx$.

Câu 5: (1 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-2;1), B(2;1;3)$ và mặt phẳng $P:x-y+2z-3=0$. Viết phương trình đường thẳng $AB$ à tìm giao điểm của $AB$ với mặt phẳng $(P)$.

Câu 6: (1 điểm) 

a) Tính giá trị của biểu thức $P=(1-3\cos 2\alpha )(2+3\cos 2\alpha )$ biết $\sin \alpha =\frac{2}{3}$.

b) Trong đợt ứng phó dịch Mers- Cov, Sở ý tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống cơ động trong số 5 đội từ trung tâm ý tế dự phòng thành phố và 20 đội của các trung tâm ý tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các trung tâm ý tế cơ sở. 

Câu 7: (1 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. góc giữa đường thẳng $SC$ và $(ABCD)$ bằng $45^0$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách giữa $SB,AC$.

Câu 8: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$, $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $H$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên cạnh $AD$. Giả sủ $H(-5;-5), K(9;-3)$ và trung điểm của cạnh $AC$ thuộc đường thẳng $x-y+10=0$. Tìm toạ độ điểm $A$.

Câu 9: (1 điểm) Giải phương trình $\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)$ trên tập số thực.

Câu 10: (1 điểm) Cho các số thực $a,b,c$ thuộc đoạn $[1;3]$ và $a+b+c=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+12abc+72}{ab+bc+ca}-\frac{1}{2}abc.$$

----------------------------------

---- Hết ----

Tham Khảo Lời Giải Đề Thi tại ĐÂY

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1

Bài toán: Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} (y+1)^2+y\sqrt{y^2+1} =x+\frac{3}{2}& \\x+\sqrt{x^2-2x+5} =1+2\sqrt{2x-4y+2} & \end{matrix}\right.$$
Lời giải:

Điều kiện: $x+1\geq 2y$

$PT(1)\Leftrightarrow y^2+2y+1+y\sqrt{y^2+1}=x+\frac{3}{2}\Leftrightarrow y^2+2y\sqrt{y^2+1}+y^2+1=2x-4y+2$

$\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{2x-4y+2}$ (chú ý: $y+\sqrt{y^2+1}>0$  $\forall y$)

$\Leftrightarrow 2y+\sqrt{(2y)^2+4}=2\sqrt{2x-4y+2}$

$\Rightarrow 2y+\sqrt{(2y)^2+4}=(x-1)+\sqrt{(x-1)^2+4}$

$\Rightarrow 2y=x-1$

thay vào pt (2) dễ dàng giải ra được x

BẤT ĐẲNG THỨC 6

Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\geq \frac{1}{n^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$.
Chứng minh

Giả sử:$\left | \dfrac{m}{n}-\sqrt{2} \right |< \dfrac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$

$\Leftrightarrow mn+\sqrt{2}n^2< 2\sqrt{2}n^2+\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow mn+\sqrt{2}n^2< n^2(\sqrt{2}+\sqrt{3})+(n^2-1)(\sqrt{2}-\sqrt{3})$

$\Rightarrow n(m+\sqrt{2}n)< n^2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{n(m+\sqrt{2}n)}> \dfrac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}(1)$

Vì $m,n\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow m\neq \sqrt{2}n\Rightarrow m^2\neq 2n^2\Rightarrow \left | m^2-2n^2 \right |\geq 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left | (m-\sqrt{2}n)(m+\sqrt{2}n) \right |}{n(m+\sqrt{2}n)}\geq \dfrac{1}{n(m+\sqrt{2}n)}$

$\Leftrightarrow \left | \dfrac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \dfrac{1}{n(m+\sqrt{2}n)}(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \left | \dfrac{m}{n}-\sqrt{2} \right |> \dfrac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ (mâu thuẫn với giả sử)

Vậy ta có điều phải chứng minh

ĐỀ THI HSG TOÁN 10 LẦN 1 THPT CHUYÊN KHTN 2015-2016

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN     ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                      NĂM HỌC 2015-2016

                                                             Thời gian làm bài: 180 phút 

                                                                 (Lần 1, ngày 14/08/2015)

Câu I. 1/  Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:

$$x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$$

         2/ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: với $a$ là ước nguyên dương bất kì của $n$ thì $a+1$ là ước của $n+1$.

Câu II. 1/ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix}x(3y^2+1)=y^3+3y & & & \\ y(3z^2+1)=z^3+3z & & & \\ z(3x^2+1)=x^3+3x & & & \end{matrix}\right.$$

        2/ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$.Tìm GTNN của:    

$$P=\frac{a+1}{a^2+3a}+\frac{b+1}{b^2+3b}+\frac{c+1}{c^2+3c}$$

Câu III. Cho tứ giác $ABCD$ không là hình thang và nội tiếp trong đường tròn $(O$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $CD, BC,DA$. Gọi $(K)$ là đường tròn $(MNP)$. Gọi $L$ đối xứng với $O$ qua $K$.

     1/ Chứng minh $EL$ vuông góc $CD$

     2/ Gọi $I$ là tâm $(ECD)$. Giả sử $IK$ chia đôi $EL$. Chứng minh rằng khi đó $E$ nằm trên $(K)$

Câu IV. Hai bạn A,B chơi 1 trò chơi như sau. Bạn B chọn một số nguyên dương n tùy ý, bạn A chia 4030 số nguyên dương đầu tiên 1,2,3,..., 4030 thành 2015 cặp. Sau đó bạn B chọn trong mỗi cặp (mà A vừa chia) ra một số . Nếu tổng của các số được B chọn ra từ các cặp bằng n thì B thắng, trái lại thì A thắng. Chứng minh rằng với mỗi cách chọn số n của B thì A luôn có cách chia cặp để chắc chắn thắng.

Tham khảo lời giải một số câu tại ĐÂY

BẤT ĐẲNG THỨC 5

Cho các số $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\dfrac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{9}{(a+b+c)^2}\geq 5$
Chứng minh
Áp dụng AM-GM : $a^5+a^2+a^2\geq 3a^3\Rightarrow \sum a^5+2\sum a^2\geq 3\sum a^3$

Và Chebyshev : $\sum a^5\geq \dfrac{1}{3}\sum a^3.\sum a^2$

Suy ra : $2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)\geq \left ( 3+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} \right )(a^3+b^3+c^3)$

              

$\Rightarrow \dfrac{2(a^5+b^5+c^5+a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3}\geq 3+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq 3+\dfrac{(a+b+c)^2}{9}$

Nên ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{(a+b+c)^2}{9}+\dfrac{9}{(a+b+c)^2}\geq 2$

Đây chính là BĐT AM-GM

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

BẤT ĐẲNG THỨC 4

Cho $a,b,c>0$ và $16(a+b+c)\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$.

Chứng minh rằng:$\dfrac{1}{\left [ a+b+\sqrt{2(a+c)} \right ]^3}+\dfrac{1}{\left [ b+c+\sqrt{2(a+b)} \right ]^3}+\dfrac{1}{\left [ a+c+\sqrt{2(b+c)} \right ]^3}\leq \dfrac{8}{9}$

Lời Giải:

Theo BĐT Cosi cho 3 số ta có :

 $\sum \dfrac{1}{\left [ a+b+\sqrt{2(a+c)} \right ]^3}=\sum \dfrac{1}{\left [ (a+b)+\dfrac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}} \right ]^3}$

$\leq \sum \dfrac{1}{27.(a+b).\dfrac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}}.\dfrac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}}}=\frac{2}{27}\sum \dfrac{1}{(a+b)(a+c)}=\dfrac{2}{27}.\dfrac{\sum (b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$=\dfrac{4(\sum a)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}$  (1)

 Mặt khác ta lại có : $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \dfrac{8(\sum a)(\sum ab)}{9}$ (2)

 Từ (1),(2) $= > \sum \dfrac{1}{\left [ a+b+\sqrt{2(a+b)} \right ]^3}\leq \dfrac{4(\sum a)}{27.\dfrac{8(\sum a)(\sum ab)}{9}}=\dfrac{1}{6(\sum ab)}$  (3)

 Ta có : $16(\sum a)\geq \sum \dfrac{1}{a}=\dfrac{\sum ab}{abc}= > \sum ab\leq 16abc(\sum a)\leq 16.\dfrac{(\sum ab)^2}{3}= > \sum ab\geq \dfrac{3}{16}$  (4)

 Từ (3),(4) $= >\sum \dfrac{1}{\left [ a+b+\sqrt{2(a+c)} \right ]^3}\leq \dfrac{1}{6.\dfrac{3}{16}}=\dfrac{8}{9}$

 Do đó ta có ĐPCM.  Dấu = xảy ra khi $< = > \left\{\begin{matrix} a+b=\dfrac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}} & & & \\ b+c=\dfrac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}} & & & \\ a+c=\dfrac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{2}} & & & \\ a=b=c=\dfrac{1}{4} & & & \end{matrix}\right.< = > a=b=c=\dfrac{1}{4}$

ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Topic Ôn Thi Vào Lớp 10 Chuyên Toán

Hy vọng nó sẽ là tài liệu tốt để các bạn có thể ôn thi vào các lớp 10 Chuyên Toán

TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 2015-2016

Tuyển Tập Đề Thi Vào Các Trường THPT Chuyên Trên Toàn Quốc Năm 2015-2016

BẤT ĐẲNG THỨC 3

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x,y,z\in(0;1)$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$.Chứng minh rằng:$\dfrac{x^2+y^4}{y}+\dfrac{y^2+z^4}{z}+\dfrac{z^2+x^4}{x}\geq \dfrac{15}{8}$
Lời giải:(VMF-Dinh Xuan Hung)

Từ giả thiết ta có:$\dfrac{1-x}{x}.\dfrac{1-y}{y}.\dfrac{1-z}{z}=1$

Đặt $(\dfrac{1-x}{x};\dfrac{1-y}{y};\dfrac{1-z}{z})\rightarrow (a;b;c)(a;b;c>0)$ và $abc=1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\dfrac{1}{1+a} & & & \\ y=\dfrac{1}{1+b} & & & \\ z=\dfrac{1}{1+c} & & & \end{matrix}\right.$

Ta có:$x^2+y^2+z^2=\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2}$

Trong 3 số $a,b,c$ có tích bằng $1$ luôn tồn tại $2$ số nằm cùng phía so với $1$.Giả sử hai số đó là $a$ và $b$

Khi đó:$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow ab+1\geq a+b$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:

$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}\geq \dfrac{1}{(1+ab)\left ( 1+\dfrac{a}{b} \right )}+\dfrac{1}{(1+ba)\left ( 1+\dfrac{b}{a} \right )}=\dfrac{a+b}{(a+b)(1+ab)}=\dfrac{1}{1+ab}=\dfrac{c}{c+1}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2}=\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{(1+c)^2}$

$=\dfrac{c^2+c+1}{(c+1)^2}=\dfrac{(c-1)^2}{4(c+1)^2}+\dfrac{3}{4}\geq \dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow 4(x^2+y^2+z^2)\geq 3$

Áp dụng BĐT $C-S$

$\sum \dfrac{x^2}{y}=\sum \dfrac{x^4}{x^2y}\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)}{x^2y+y^2z+z^2x}$

$x^2y+y^2z+z^2x\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+x^2z^2+z^2y^2)}$

$\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2).\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}}$

$\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2).\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4(x^2+y^2+z^2)}}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}$

$\Rightarrow \sum \dfrac{x^2}{y}\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}\geq \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2}=2(x^2+y^2+z^2)\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$(x^3+y^3+z^3)^2\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^4}{(x+y+z)^2}$

$\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^4}{3(x^2+y^2+z^2)}$

$=\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}\geq \dfrac{9}{64}$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq \dfrac{3}{8}$

$\Rightarrow \sum \dfrac{x^2+y^4}{y}=\sum \dfrac{x^2}{y}+\sum x^3\geq \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{15}{8}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

BẤT ĐẲNG THỨC 2

Với các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+1=z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x^{3}}{x+yz}+\frac{y^{3}}{y+zx}+\frac{z^{3}}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$$

Lời giải:(VMF-Hoang Tung 126)

Theo Cauchy_Swatch ta có : $\dfrac{x^3}{x+yz}+\dfrac{y^3}{y+xz}\geq \dfrac{(x+y)^3}{2(x+y+yz+xz)}=\dfrac{(x+y)^3}{2(x+y)(1+z)}=\dfrac{(x+y)^2}{2(z+1)}=\dfrac{(z-1)^2}{2(z+1)}$  (Do $x+y=z-1$)

 Mà $\dfrac{z^3}{z+xy}=\dfrac{4z^3}{4z+4xy}\geq \dfrac{4z^3}{4z+(x+y)^2}=\dfrac{4z^3}{4z+(z-1)^2}=\dfrac{4z^3}{(z+1)^2}$

 $(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}\leq (z+1).\dfrac{x+y+2}{2}=\dfrac{(z+1)(z-1+2)}{2}=\dfrac{(z+1)^2}{2}$
$= > \dfrac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \dfrac{28}{(z+1)^2}$

Từ đó $= > P\geq \dfrac{(z-1)^2}{2(z+1)}+\dfrac{4z^3}{(z+1)^2}+\dfrac{28}{(z+1)^2}$

$=>2P\geq \dfrac{(z-1)^2}{z+1}+\dfrac{8z^3}{(z+1)^2}+\dfrac{56}{(z+1)^2}=\dfrac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}=f(z)$

  Ta chứng minh $f(z)\geq \dfrac{53}{4}< = > \dfrac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}\geq \dfrac{53}{4}$
$< = > \dfrac{9z^3-z^2-z+57}{z^2+2z+1}\geq \dfrac{53}{4}< = > 36z^3-4z^2-4z+228\geq 53z^2+106z+53$
$< = > 36z^3-57z^2-110z+175\geq 0< = > 12z^2(3z-5)+z(3z-5)-35(3z-5)\geq 0$
$< = > (3z-5)(12z^2+z-35)\geq 0< = > (3z-5)(4z(3z-5)+7(3z-5))\geq 0$
$< = > (3z-5)^2(4z+7)\geq 0$ (Luôn đúng)

 Do đó $2P\geq f(z)\geq \dfrac{53}{4}= > P\geq \dfrac{53}{8}= > P_{Min}=\dfrac{53}{8}< = > \left\{\begin{matrix} x=y & & \\ z=\dfrac{5}{3} & & \\ x+y+1=z & & \end{matrix}\right.< = > \left\{\begin{matrix} x=y=\dfrac{1}{3} & \\ z=\dfrac{5}{3} & \end{matrix}\right.$

BẤT ĐẲNG THỨC 1

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:$4(a^3+b^3)+c^3=2(a+b+c)(ac+bc-2)$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{2a^2}{3a^2+b^2+2a(c+2)}+\frac{b+c}{a+b+c+2}-\frac{(a+b)^2+c^2}{16}$$

Chứng minh:

Ta có:$x^3+y^3\geq \dfrac{1}{4}(x+y)^3;xy\leq \left ( \dfrac{x+y}{2} \right )\forall x,y>0$ kết hợp với giả thiết suy ra:

$\dfrac{1}{4}(a+b+c)^3\leq (a+b)^3+c^3\leq 4(a^3+b^3)+c^3\leq 2(a+b+c)\left [ \dfrac{(a+b+c)^2}{4}-2 \right ]\Rightarrow a+b+c\geq 4$

Khi đó sử dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\dfrac{2a^2}{3a^2+b^2+2a(c+2)}=\dfrac{a}{a+c+2+\left ( \dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{a}{2} \right )}\leq \dfrac{a}{a+c+2+2\sqrt{\frac{b^2}{2a}.\dfrac{a}{2}}}=\dfrac{a}{a+b+c+2}$

Và $(a+b)^2+c^2\geq \dfrac{1}{2}(a+b+c)^2\Rightarrow P\leq \dfrac{a+b+c}{a+b+c+2}-\dfrac{(a+b+c)^2}{32}$

Đặt $t=a+b+c\geq 4,P\leq f(t)=\dfrac{t}{t+2}-\dfrac{t^2}{32}$ 

Ta có:$f(t')=\dfrac{2}{(t+2)^2}-\dfrac{t}{16}=\dfrac{32-t(t+2)^2}{16(t+2)^2}<0\forall t\geq 4$

Suy ra hàm số $f(t)$ nghịch biến trên $[4;\infty )$.Do đó:$P\leq f(t)\leq f(4)=\dfrac{1}{6}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$ và $c=2$

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT KHTN 2015-2016 (VÒNG II)

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN                               TRƯỜNG THPT KHOA HỌC VÀ TỰ NHIÊN

                                                           

                                                              MÔN THI:TOÁN(VÒNG II)

                                   Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I.(3 điểm)

1)Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn:$(3a+3b+3c)^3=24+(3a+b-c)^3+(3b+c-a)^3+(3c+a-b)^3$.Chứng minh rằng:$(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1$

2)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5 & & \\ 27(x+y)+y^3+7=26x^3+27x^2+9x & & \end{matrix}\right.$

Câu II.(3 điểm)

1)Tìm số tự nhiên $n$ để $n+5$ và $n+30$ đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)

2)Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn đẳng thức:$1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

3)Giả sử $x,y,z$ là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{x}{\sqrt{y+z-4}}+\frac{y}{\sqrt{z+x-4}}+\frac{z}{\sqrt{x+y-4}}$

Câu III.(3 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân với $AB<AC$.Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đoạn $AM$.Trên tia đối của tia $AM$ lấy điểm $N$ sao cho $AN=2MH$

1)Chứng minh rằng $BN=AC$

2)Gọi $Q$ là điểm đối xứng với $A$ qua $N$.Đường thẳng $AC$ cắt $BQ$ tại $D$.Chứng minh rằng bốn điểm $B,D,N,C$ cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là $(O)$

3)Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AQD$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $D$.Chứng minh rằng $NG$ song song với $BC$

Câu IV.(1 điểm)

Ký hiệu $S$ là tập hợp gồm $2015$ điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của $S$ không cùng nằm trên một đường thẳng.Chứng minh rằng có ít nhất $2015$ đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của $S$

                                                                        

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT KHTN 2015-2016 (VÒNG I)

 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                   ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

           THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                  THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

                                                                                                     Môn:Toán (Vòng 1)

                                                                    Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

        ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I.(3 điểm)

1) Giả sử $a,b$ là hai số thực phân biệt thỏa mãn:$a^2+3a=b^2+3b=2$

    a)Chứng minh rằng:$a+b=-3$

    b)Chứng minh rằng:$a^3+b^3=-45$

2)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=5xy & & \\ 4x^2+y^2=5xy^2 & & \end{matrix}\right.$

Câu II.(3 điểm)

1)Tìm các số nguyên $x,y$ không nhỏ hơn 2 sao cho $xy-1\vdots (x-1)(y-1)$

2)Với $x,y$ là những số thực thỏa mãn đẳng thức:$x^2y^2+2y+1=0$,tìm giá trị lớn và nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{xy}{3y+1}$

Câu III.(3 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân có tâm đường tròn nội tiếp là $I$.Đường thẳng $AI$ cắt $BC$ tại $D$.Gọi $E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $D$ qua $IC$ và $IB$

a,Chứng minh rằng $EF$ song song với $BC$

b,Gọi $M,N,J$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng  $DE,DF,EF$.Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$ tại $P$ khác $A$.Chứng minh rằng bốn điểm $M,P,N,J$ cùng thuộc một đường tròn          

c,Chứng minh rằng 3 điểm $A,J,P$ thẳng hàng    

Câu IV.(1 điểm)

1)Cho bảng ô vuông $2015\times 2015$.Kí hiệu ô $(i,j)$ là ô ở hàng thứ $i$ cột $j$ .Ta viết các số nguyên dương từ $1$ đến $2015$ vào các ô của bảng theo quy tắc sau:

i)Số 1 được viết vào ô $(1;1)$

ii)Nếu $k$ được viết vào ô $(i,j)$ ,$(i>1)$.,thì số $k+1$ được viết vào ô $(i-1;j+1)$,

iii)Nếu số $k$ được viết vào ô $(1,j)$ thì số $k+1$ được viết vào ô $(j+1;1)$ (như hình vẽ)

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 3 & 6 & 10 & ... \\ \hline 2 & 5 & 9 & ...& \\ \hline 4 & 8 & ... & & & \\ \hline 7 & ... & & & & \\ \hline ...& & & & & \\ \hline \end{array}$ 

Khi đó số $2015$ được viết vào ô $(m;n)$.Hãy xác định $m$ và $n$

2)Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac+abc\leq 4$.Chứng minh rằng:$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)$

                                                                 

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm