Số học

Bài toán: Tìm tất cả những số m sao cho phương trình:

$x^{2}-2x[x]+x-m=0$ (1)

có hai nghiệm không âm (kí hiệu $[x]$ chỉ sô nguyên lớn nhất không vượt quá x)

Lời giải: 

Đặt $[x]=y, x-[x]=z$

Phương trình đã cho tương đương với $z^{2}+z-y^{2}+y-m=0$, trong đó y là số nguyên và $0\leq z<1$

Ta tìm z theo y được:

                    $z=\frac{-1\pm \sqrt{\Delta }}{2}$ với $\Delta =1+4(y^{2}-y+m)$

Kết hợp với điều kiện $z\geq 0$ ta có:

                    $z=\frac{\sqrt{\Delta }-1}{2}$ (2) với $0\leq \frac{\sqrt{\Delta }-1}{2}\leq 1$

Hay: $1\leq \Delta <y; 0\leq y^{2}-y+m<2$  (3)

Gọi $x_{1},x_{2}$ ($x_{1}>x_{2}$) là hai nghiệm không âm của (1) và 

$[x_{i}]=y_{i}\geq 0,x_{i}-[x_{i}]=z_{i}$ (i=1,2)

Đẳng thức $y_{1}=y_{2}$ không xảy ra được vì từ (2): $y_{1}=y_{2}$ thì $x_{1}=x_{2}$ trái với bài ra. Vậy $y_{1}>y_{2}$.

Nhưng từ (3): $0\leq y_{i}^{2}-y_{i}+m<2 (i=1,2)$ (4)

và $\left | y_{1}^{2}-y_{1}-y_{2}^{2}+y_{2} \right |<2, (y_{1}-y_{2})\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |<2$.

Do $y_{1}$ và $y_{2}$ nguyên và $y_{1}-y_{2}\geq 1$ nên hoặc là $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=1$ hoặc $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=0$

Trong trường hợp thứ nhất: $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=1$, ta có: $y_{1}+y_{2}=2$ và $y_{1}=2$ và $y_{1}=2,y_{2}=0$, như thế $(y_{1}-y_{2})\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=2$, mâu thuẫn!

Trong trường hợp hai: $\left | y_{1}+y_{2}-1 \right |=0$, ta có: $y_{1}+y_{2}=1$ và từ $y_{1}>y_{2}\ geq0$ suy ra $y_{1}=1,y_{2}=0$

Từ đó: $x_{1,2}=\frac{\sqrt{1+4m}\pm 1}{2}$.

Rõ ràng phương trình đã cho không có trên 2 nghiệm không âm phân biệt. Vậy từ bất đẳng thức (4) tương đương với các điều kiện (3) ta có: $0\leq m<2$

Kết luận: Giá trị m cần tìm là $0\leq m<2$$\square $