Bất đẳng thức 25

Bài Toán:Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:$(\dfrac{a}{b+c})^3+(\dfrac{b}{c+a})^3+(\dfrac{c}{a+b})^3+\dfrac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

Lời giải:

Ta có: $(\dfrac{a}{b+c})^{3}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}.(\dfrac{a}{b+c})^{3}}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{a}{b+c}$

CMTT ta có: $(\dfrac{b}{c+a})^{3}+\dfrac{1}{4}\geq \dfrac{3}{4}.\dfrac{b}{c+a}$

$(\dfrac{c}{a+b})^{3}+\dfrac{1}{4}\geq \dfrac{3}{4}.\dfrac{c}{a+b}$

$\Rightarrow \sum (\dfrac{a}{b+c})^{3}+\dfrac{3}{4}\geq \dfrac{3}{4}\sum \dfrac{a}{b+c}$

Nên: $\sum (\dfrac{a}{b+c})^{3}+\dfrac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$

$\geq \dfrac{3}{4}\sum \dfrac{a}{b+c}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$

$=\dfrac{3}{4}(\sum \dfrac{a}{b+c}-\dfrac{3}{2})+(1-\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})+(\dfrac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\dfrac{5}{8})$

$=\dfrac{3}{4}\sum \dfrac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\dfrac{-\dfrac{1}{2}.\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{8abc-(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$=\dfrac{3}{4}\sum \dfrac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\dfrac{-\frac{1}{2}.\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{-\sum a(a-b)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$=\sum (a-b)^{2}(\dfrac{3}{8(b+c)(c+a)}-\dfrac{1}{2(ab+bc+ca)}-\dfrac{5}{8}\dfrac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)})(*)$ 

Ta sẽ có: $S_{c}=\dfrac{3}{8(b+c)(c+a)}-\dfrac{1}{2(ab+bc+ca)}-\dfrac{5}{8}\dfrac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$S_{a}=\dfrac{3}{8(c+a)(a+b}-\dfrac{1}{2(ab+bc+ca)}-\dfrac{5}{8}\dfrac{b}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$S_{b}=\dfrac{3}{8(a+b)(b+c)}-\dfrac{1}{2(ab+bc+ca)}-\dfrac{5}{8}\dfrac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Không mất tính tổng quát giả sử $c\geq b\geq a$

Ta nhận thấy: $S_{c},S_{a}\geq 0$ nên theo tiêu chuẩn $S.O.S$ thì phải chứng minh: $a^{2}S_{a}+b^{2}S_{b}\geq 0$

Luôn đúng với $c\geq b\geq a$ nên $(*)$ đúng

Suy ra điều phải chứng minh