Bài 1 (Đề thi thử số 1 THPT QG của báo THTT số 459 tháng 9/2015)
Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{1}{x^{18}}+\frac{1}{y^{18}}+\frac{1}{z^{18}}\leq 3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$F=\frac{x^{2015}+y^{2015}}{x^{1997}+y^{1997}}+\frac{y^{2015}+z^{2015}}{y^{1997}+z^{1997}}+\frac{x^{2015}+z^{2015}}{x^{1997}+z^{1997}}$$
Áp dụng BĐT $Cauchy$
$3\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{x^{18}y^{18}z^{18}}}\Rightarrow 3\sqrt[3]{x^{18}y^{18}z^{18}}\geq 3$
Áp dụng $Chebyshev$ , ta có:
$\dfrac{x^{2015}+y^{2015}}{x^{1997}+y^{1997}}\geq \dfrac{\frac{1}{2}(x^{1997}+y^{1997})(x^{18}+y^{18})}{x^{1997}+y^{1997}}=\dfrac{1}{2}(x^{18}+y^{18})$
Lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, suy ra:
$F=\dfrac{x^{2015}+y^{2015}}{x^{1997}+y^{1997}}+\dfrac{y^{2015}+z^{2015}}{y^{1997}+z^{1997}}+\dfrac{x^{2015}+z^{2015}}{x^{1997}+z^{1997}}\geq x^{18}+y^{18}+z^{18}\geq 3\sqrt[3]{x^{18}y^{18}z^{18}}\geq 3$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài 2 ( Đề thi thử số 1 báo THTT số 448 tháng 10/2014 ) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=14$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
$$P=\frac{4(a+c)}{a^{2}+3c^{2}+28}+\frac{4a}{a^{2}+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^{2}}-\frac{3}{a(b+c)}$$
( Trần Quốc Luật - Gv THPT chuyên Hà Tĩnh )
Lời giải:(VMFer:Dinh Xuan Hung)
Ta có:$\dfrac{a^2}{\dfrac{1}{2}}+\frac{b^2}{\dfrac{1}{3}}+\frac{c^2}{\dfrac{1}{6}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}\Rightarrow a^2+3c^2+28=3a^2+2b^2+5c^2\geq 2(a+b)(a+c)$
Mặt khác:$\dfrac{4a}{a^2+bc+7}=\frac{8a}{2a^2+a^2+(b+c)^2}\leq \dfrac{8a}{2a^2+2a(b+c)}=\dfrac{4}{a+b+c}\leq \dfrac{2}{\sqrt{a(b+c)}}$
Do vậy $\mathbb{P}\leq \dfrac{2}{a+b}-\frac{5}{(a+b)^2}+\dfrac{2}{\sqrt{a(b+c)}}-\dfrac{3}{a(b+c)}=\dfrac{1}{5}-5\left ( \dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{5} \right )^2+\dfrac{1}{3}-3\left ( \dfrac{1}{\sqrt{a(b+c)}}-\dfrac{1}{3} \right )^2\leq \dfrac{8}{15}$
Khi $a=1;b=2;c=3$ thì $P=\dfrac{8}{15}$
Vậy $P$ max = $\dfrac{8}{15}$
Bài 3 (Đề thi thử số 2 báo THTT số 449 tháng 11/2014)
Cho $a.b.c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=\frac{1}{6}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$\mathbb{P}=\frac{1}{a^4(2b+1)(3c+1)}+\frac{1}{16b^4(3c+1)(a+1)}+\frac{1}{81c^4(a+1)(2b+1)}$$
Lời giải:(VMFer:Supermath98)
Đổi biến $\left ( \dfrac{1}{a};\dfrac{1}{2b};\dfrac{1}{2c} \right )\rightarrow \left ( x;y;z \right )$. Từ điều kiện suy ra $xyz=1$
Khi đó $P= \dfrac{x^{3}}{\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )}+\dfrac{y^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( z+1 \right )}+\dfrac{z^{3}}{\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )}$
Theo BĐT AM-GM ta có: $\dfrac{x^{3}}{\left ( y+1 \right )\left ( z+1\right )}+\dfrac{y+1}{8}+\dfrac{z+1}{8}\geq \dfrac{3x}{4}$
Thiết lập các BĐT tương tự ta suy ra được $P_{Min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow a=1;b=\dfrac{1}{2};c=\dfrac{1}{3}$
Bài 4: (Đề thử sức số 3 báo THTT số 450 T12/2014)
Cho hai số thực $a;b\in \left ( 0;1 \right )$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-a^{2}}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P= \dfrac{8\left ( 1-a \right )}{1+a}+9\sqrt{\frac{1-b}{1+b}}$
Lời giải:(VMFer:Hoang Tung)
Sử dụng phép nhân liên hợp ta có :
$a^2+b^2=a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}< = > a(a-\sqrt{1-b^2})+b(b-\sqrt{1-a^2})=0$
$< = > a.\dfrac{a^2+b^2-1}{a+\sqrt{1-b^2}}+b.\dfrac{b^2+a^2-1}{b+\sqrt{1-a^2}}=0$
$< = > (a^2+b^2-1)(\dfrac{a}{a+\sqrt{1-b^2}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{1-a^2}})=0$
$= > a^2+b^2-1=0= > a^2+b^2=1$
$< = > a.\dfrac{a^2+b^2-1}{a+\sqrt{1-b^2}}+b.\dfrac{b^2+a^2-1}{b+\sqrt{1-a^2}}=0$
$< = > (a^2+b^2-1)(\dfrac{a}{a+\sqrt{1-b^2}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{1-a^2}})=0$
$= > a^2+b^2-1=0= > a^2+b^2=1$
Do $a^2+b^2=1$ ,$a,b> 0$ nên tồn tại góc $\alpha$ với $0< \alpha < \frac{\pi }{2}$ thỏa mãn $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$
- Xét $a=sin\alpha ,b=cos\alpha$ . Ta có :
$P=\dfrac{8(1-a)}{1+a}+9\sqrt{\dfrac{1-b}{1+b}}$
$=\dfrac{8(1-sin\alpha )}{1+sin\alpha }+9\sqrt{\dfrac{1-cos\alpha }{1+cos\alpha }}$
$=\dfrac{8(sin\dfrac{\alpha }{2}-cos\dfrac{\alpha }{2})^2}{(sin\dfrac{\alpha }{2}+cos\dfrac{\alpha }{2})^2}+9\sqrt{\dfrac{2sin^{2}\dfrac{\alpha }{2}}{2cos^{2}\dfrac{\alpha }{2}}}$
$=\dfrac{8(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}}-1)^2}{(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}}+1)^2}+\dfrac{9sin\frac{\alpha }{2} }{cos\dfrac{\alpha }{2}}$
$=\dfrac{8(t-1)^2}{(t+1)^2}+9t$
$=\dfrac{8(1-sin\alpha )}{1+sin\alpha }+9\sqrt{\dfrac{1-cos\alpha }{1+cos\alpha }}$
$=\dfrac{8(sin\dfrac{\alpha }{2}-cos\dfrac{\alpha }{2})^2}{(sin\dfrac{\alpha }{2}+cos\dfrac{\alpha }{2})^2}+9\sqrt{\dfrac{2sin^{2}\dfrac{\alpha }{2}}{2cos^{2}\dfrac{\alpha }{2}}}$
$=\dfrac{8(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}}-1)^2}{(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}}+1)^2}+\dfrac{9sin\frac{\alpha }{2} }{cos\dfrac{\alpha }{2}}$
$=\dfrac{8(t-1)^2}{(t+1)^2}+9t$
(Với $t=\dfrac{sin\frac{\alpha }{2}}{cos\frac{\alpha }{2}}> 0$)
Tới đây xét đạo hàm hoặc biến đổi tương đương ta Cm được $P\geq 5$
Dấu = xảy ra khi $t=\frac{1}{3}< = > \frac{sin\frac{\alpha }{2}}{cos\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{3},sin^{2}\frac{\alpha }{2}+cos^{2}\frac{\alpha }{2}=1$
$ < = > sin\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{\sqrt{10}},cos\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}$
$< = > a=\frac{3}{5},b=\frac{4}{5}$. Do đó $P_{min}=5$
$ < = > sin\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{\sqrt{10}},cos\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}$
$< = > a=\frac{3}{5},b=\frac{4}{5}$. Do đó $P_{min}=5$
- Xét $a=cos\alpha ,b=sin\alpha$. Ta có :
$P=\dfrac{8(1-a)}{1+a}+9\sqrt{\dfrac{1-b}{1+b}}=\dfrac{8(1-cos\alpha )}{1+cos\alpha }+9\sqrt{\dfrac{1-sin\alpha }{1+sin\alpha }}$
$=\dfrac{8sin^{2}\dfrac{\alpha }{2}}{cos^{2}\dfrac{\alpha }{2}}+9\sqrt{\dfrac{(sin\frac{\alpha }{2}-cos\dfrac{\alpha }{2})^2}{(sind\frac{\alpha }{2}+cos\dfrac{\alpha }{2})^2}}$
$=8(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}})^2+9.\left | \dfrac{sin\frac{\alpha }{2}-cos\dfrac{\alpha }{2}}{sin\dfrac{\alpha }{2}+cos\dfrac{\alpha }{2}} \right |$
$=\dfrac{8sin^{2}\dfrac{\alpha }{2}}{cos^{2}\dfrac{\alpha }{2}}+9\sqrt{\dfrac{(sin\frac{\alpha }{2}-cos\dfrac{\alpha }{2})^2}{(sind\frac{\alpha }{2}+cos\dfrac{\alpha }{2})^2}}$
$=8(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}})^2+9.\left | \dfrac{sin\frac{\alpha }{2}-cos\dfrac{\alpha }{2}}{sin\dfrac{\alpha }{2}+cos\dfrac{\alpha }{2}} \right |$
+ Nếu $sin\dfrac{\alpha }{2}\geq cos\dfrac{\alpha }{2}= > \dfrac{sin\frac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}}\geq 1$
$= > P=8(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}})^2+9.(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}-cos\dfrac{\alpha }{2}}{sin\dfrac{\alpha }{2}+cos\dfrac{\alpha }{2}})\geq 8$
$= > P\geq 8$ (1)
$= > P=8(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}})^2+9.(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}-cos\dfrac{\alpha }{2}}{sin\dfrac{\alpha }{2}+cos\dfrac{\alpha }{2}})\geq 8$
$= > P\geq 8$ (1)
+ Nếu $sin\dfrac{\alpha }{2}< cos\dfrac{\alpha }{2}= >0< \dfrac{sin\frac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}}< 1$
Khi đó $P=8(\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}})^2+9(\dfrac{cos\frac{\alpha }{2}-sin\frac{\alpha }{2}}{cos\frac{\alpha }{2}+sin\frac{\alpha }{2}})$
$=8t^2+\dfrac{9(1-t)}{1+t}$
$=8t^2+\dfrac{9(1-t)}{1+t}$
( Với $t=\dfrac{sin\dfrac{\alpha }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}},0< t< 1$)
Tới đây xét đạo hàm hoặc biến đổi tương đương ta CM được $P\geq 5$ (2)
Dấu = xảy ra khi $t=\dfrac{1}{2}$
$< = > cos\dfrac{\alpha }{2}=2sin\dfrac{\alpha }{2},cos^{2}\dfrac{\alpha }{2}+sin^{2}\dfrac{\alpha }{2}=1$
$< = > sin\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}},cos\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$= > a=\dfrac{3}{5},b=\dfrac{4}{5}$
+ Từ (1)(2) $= > P_{min}=5< = > a=\dfrac{3}{5},b=\dfrac{4}{5}$
- Từ 2 TH trên $= > P_{min}=5< = > a=\dfrac{3}{5},b=\dfrac{4}{5}$
Tiếp tục cập nhật
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét