Số học 3

Tìm số tự nhiên m,n sao cho $A= 3^{66m^{2}+9n^{3}-2008}+4$ là số nguyên tố

                                   Lời giải 

Dễ thấy $A=3^{3k+2}+4=9.27^k+4$ với $k=22m^2+3n^3-670$

* Nếu $k\ge1$ thì $A\equiv9+4\equiv0(\pmod{13})$ nên $A\ vdots\ 13$

* Nếu $k=0$ thì $A=13$ là SNT

Do đó $A$ là SNT $\Leftrightarrow 22m^2+3n^3-670=0$.

Giờ ta giải pt nghiệm nguyên dương : $22m^2+3n^3=670$ (1)

(1) $\Rightarrow n=2n_1$, thay vào (1) ta được : $11m^2+12n_1^3=335$ (2)

(2) $\Rightarrow m=2m_1+1$, thay vào (2) ta được : $11m_1(m_1+1)+3n_1^3=81$ (3)

(3) $\Rightarrow n_1=2n_2+1$, thay vào (3) ta được : $\frac{11m_1(m_1+1)}{2}+12n_2^3+18n_2^2+9n_2=39$ (4)

Với $n_2=0$ hoặc $n_2\ge2$ thì (4) VN nguyên dương.

Với $n_2=1$ thì (4) $\Rightarrow m_1=0$. Suy ra $n=6\ ;\ m=1$.

Thử lại thoả. Vậy $m=1,\ n=6$ thì $A$ là SNT.